Matematická statistika - text z přednášek

1. Úvod
1.1. Matematická statistika je obor, který na jedné straně velmi úzce souvisí s teorií pravděpodobnosti, nebot' je založen na stejných základních pojmech, používá v zásadě stejné postupy jako ona a podstatně využívá jejích výsledků, ale na straně druhé se od ní významně liší. Tato rozdílnost mezi oběma teoriemi je dána tím, že typy úloh, které řeší matematická statistika, jsou zpravidla zcela jiné než úlohy pravděpodobnostní a v jistém smyslu jsou k nim dokonce opačné.
Úlohy teorie pravděpodobnosti zpravidla vycházejí ze znalosti přesných, skutečných pravděpodobností základních náhodných jevů a na základě znalosti těchto pravděpodobností se hledají pravděpodobnosti jiných, zpravidla složitějších náhodných jevů. Z "pravděpodobnostní" znalosti náhodných veličin, např. ze znalosti pravděpodobnostní funkce u diskrétních náhodných veličin resp. ze znalosti distribuční funkce nebo hustoty pravděpodobnosti u absolutně spojitých náhodných veličin, se odvozují číselné charakteristiky těchto náhodných veličin, jako jsou např. střední hodnota, rozptyl, obecné či centrální momenty, korelační koeficienty, kvantily apod., dělají se závěry o vlastnostech těchto náhodných veličin, např. o jejich vzájemné nezávislosti, určují se pravděpodobnosti toho, že tyto veličiny nabudou jistých hodnot nebo hodnot z jistých intervalů, apod. Lze tedy říci, že v teorii pravděpodobnosti předpokládáme, že známe skutečné rozdělení pravděpodobností základních náhodných veličin resp. matematický model základního souboru náhodných jevů.
Naproti tomu ve statistických úlohách je situace zpravidla v jistém smyslu opačná. Víme např., že nastaly určité jevy z jistého základního souboru náhodných jevů, a chceme odhadnout, jaké měly tyto jevy pravděpodobnosti. Nebo jsme získali pokusem, pozorováním či měřením určitý počet hodnot zkoumané náhodné veličiny, jejíž rozdělení pravděpodobnosti neznáme, a chceme na základě těchto dat odhadnout buď toto neznámé rozdělení nebo alespoň některé číselné charakteristiky zkoumané náhodné veličiny, např. střední hodnotu nebo rozptyl, a na základě takových odhadů pak případně dělat další závěry. Obecně tedy můžeme říci, že matematická statistika se snaží formulovat závěry a tvrzení o náhodných veličinách na základě dat získaných pokusem, pozorováním nebo měřením, tj. na základě známých realizací náhodných veličin.
Malou ukázkou typického statistického uvažování je následující jednoduchý příklad.