Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných s aplikacemi - výklad, řešené příklady, cvičení

metrický prostor

bodové množiny

diferenciální počet funkcí

proměnné

integrálný počet funkcí

• Obsah
  Předmluva 3
  Obsah 5
  Seznam označení 7
  I Pojem afinního a metrického prostoru. Bodové množiny 13
  1 Poznámky k afinním prostorům a vektorové algebře 13
  1.1 Úvod 13
  1.2 Afinní prostor neboli bodově vektorový prostor 13
  1.3 Skalární součin. Euklidovský prostor 20
  1.4 Skalární součin v kartézských souřadnicích 21
  1.5 Pravoúhlý průmět vektoru 22
  1.6 Směrové úhly a směrové kosiny 22
  1.7 Einsteinova součtová konvence 22
  1.8 Kroneckerovo delta 23
  1.9 Transformace souřadnic vektoru a bodu. Matice přechodu 23
  1.10 Orientace prostoru 25
  1.11 Vektorový součin. Smíšený součin vektorů 26
  1.12 Cvičení 28
  2 Poznámky k metrickým prostorům 30
  2.1 Metrický prostor 30
  2.2 Aritmetický model euklidovského prostoru 31
  2.3 Příklady metrických prostorů 32
  2.4 Cvičení 37
  3 Bodové množiny především v euklidovských prostorech 41
  3.1 Úvod 41
  3.2 Okolí bodu. Limita posloupnosti bodů v En 41
  3.3 Hromadný bod a další důležité body i množiny především v En 48
  3.4 Souvislý metrický prostor. Souvislá množina. Oblast. Konvexní množina 53
  3.5 Cvičení 55
  II Základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných 58
  4 Úvod k diferenciálnímu počtu funkcí více proměnných 58
  4.1 Pojem reálné funkce více argumentů 58
  4.2 Zobrazení množin a funkce v En 62
  4.3 Příklady operátoru a funkcionálu v metrickém prostoru 66
  4.4 Spojitost a limita zobrazení (funkcí) v metrických prostorech 67
  4.5 Spojitost a limita zobrazení (funkcí) v euklidovských prostorech 71
  4.6 O spojitosti funkcí v En včetně stejnoměrné spojitosti 73
  4.7 O limitách funkcí v En a E∗n 75
  4.8 Příklady ke spojitosti a limitám funkcí 77
  4.9 Cvičení 80
  5 Diferenciální počet funkcí více proměnných 86
  5.1 Parciální derivace 86
  5.2 Diferencovatelné funkce. Diferenciál. Tečná rovina grafu funkce 88
  5.3 Derivace složené funkce. Derivace vyšších řádů. Záměnnost derivací 94
  5.4 Derivace ve směru. Gradient. Výpočet operátorů teorie pole 97
  5.5 Implicitní funkce 112
  5.6 Vyšší diferenciály a Taylorův vzorec 117
  5.7 Lokální a globální extrémy funkce 121
  5.8 Vázané extrémy funkce 128
  5.9 Cvičení 134
  III Základy integrálního počtu funkcí více proměnných 144
  6 Riemannův dvojný a trojný integrál na měřitelné množině 144
  6.1 Riemannův dvojný integrál. Měřitelné množiny v E2 144
  6.2 Existence dvojného a trojného integrálu. Vlastnosti vícerozměrných integrálů 150
  6.3 Fubiniova věta a výpočet dvojného integrálu dvojnásobnou integrací 152
  6.4 Transformace vícerozměrných integrálů 155
  6.5 Transformace dvojného integrálu do polárních a zobecněných polárních souřadnic 158
  6.6 Vybrané fyzikální aplikace dvojného integrálu 161
  6.7 Trojný integrál stručně 161
  6.8 Fubiniova věta pro trojný integrál 162
  6.9 Transformace trojného integrálu do cylindrických a zobecněných cylindrických souřadnic 162
  6.10 Transformace trojného integrálu do sférických a zobecněných sférických souřadnic 164
  6.11 Vybrané fyzikální aplikace trojného integrálu 165
  6.12 Cvičení 166
  7 Křivkový integrál 170
  7.1 Jednoduchá hladká, popř. po částech hladká křivka v E2 a E3 170
  7.2 Křivkový integrál skalární funkce neboli 1. druhu 175
  7.3 Vlastnosti a fyzikální aplikace křivkového integrálu skalární funkce 178
  7.4 Křivkový integrál vektorové funkce neboli 2. druhu 179
  7.5 Greenova věta o křivkovém a dvojném integrálu. Jordanova věta v E2 182
  7.6 Nezávislost křivkového integrálu vektorové funkce na cestě. Konzervativní vektorové pole 185
  7.7 Cvičení 188
  8 Plošný integrál 191
  8.1 Obsah plochy jako grafu explicitní spojitě diferencovatelné funkce, fyzikální aplikace skořepiny 191
  8.2 Modelování ploch parametrizací. Obsah a orientace plochy i jejího okraje. Jordanova věta v E3195
  8.3 Plošný integrál skalární funkce neboli 1. druhu 213
  8.4 Vlastnosti a fyzikální aplikace plošného integrálu skalární funkce 215
  8.5 Plošný integrál vektorové funkce neboli 2. druhu 218
  8.6 Integrální věty Gaussova-Ostrogradského a Stokesova. Definice operátorů teorie pole 225
  8.7 Cvičení 232
  Literatura 235
  Rejstřík 237