Maticový a tenzorový počet - skripta

Lineární a multilineární algebra, jak by také mohl znít alternativní název tohoto textu, poskytuje velmi účinný matematický aparát řade technických i matematicko-fyzikálních disciplín. Centrálním pojmem tohoto textu je pojem matice, k němuž se v závěrečné kapitole připojuje i pojem tenzoru. Maticová symbolika umožňuje velmi jednoduchým a přehledným způsobem vyjadřovat jinak velmi komplikované vztahy mezi mnoha veličinami fyzikální i jiné (například ekonomické Či statistické) povahy. Mezi významné oblasti použití patří například řešení soustav lineárních elektrických obvodů v elektrotechnice, v mechanice při studiu kmitám nebo v teorii pružnosti. Dalšími oblastmi použití jsou například kryptografie, teorie her, teorie grafů, při popisu nejrůznějších ekonomických vztahů. atd.
Hlavním cílem tohoto textu je pokrýt výkladem látku probíranou ve stejnojmenném předmětu na Fakultě elektrotechniky a komunikačních technologií. Samotné základy maticového počtu jsou podány v prvních dvou kapitolách, kde jsou probírány základní maticové operace a důležité charakteristiky matic, jako jsou například hodnost matice nebo determinant. Do širšího kontextu, nezbytného pro pochopení aplikací maticového počtu, jsou matice zasazeny v kapitole třetí, kde jsou probírány vektorové, (nebo-li tzv. lineární) prostory. Některé hlubší poznatky z teorie matic, zejména problém vlastních hodnot, jsou studovány v kapitole čtvrté. Pátá kapitola je aplikační, získané poznatky jsou použity pro popis chování kvadratických forem. V poslední, šesté kapitole jsou vysvětleny základy tenzorového počtu. Každá kapitola obsahuje řadu řešených úloh, které jsou začleněny do kontextu celého výkladu.
Teoretický výklad je na konci každé kapitoly doplněn cvičeními, která jsou dvojího typu. Obvyklá početní - „numerická" cvičení jsou značena písmenem N. Tato cvičení představují určité minimum, které by studující, dostatečně připravený ke zkoušce, mel bezpodmínečně ovládat. Výsledky těchto úloh. které mají kontrolní funkci, avšak nepředstavují pro studujícího téměř žádnou nápovědu, jsou pro pohodlí studujícího zařazeny ihned za každým příkladem.
Druhým typem cvičení jsou počítačová cvičení, označená písmenem M, používající matematický software - systém počítačové algebry MATLAB (vyhoví téměř jakákoli základní verze tohoto systému, dostupná například pro operační systém MS Windows. včetně velmi raných verzí). Alternativou mohou být. i konkurenční komerční systémy MA-PLE nebo MATHEMATICA, případně starší a volně šiřitelné verze systému MUPAD. Všechny tyto systémy počítačové algebry umožňují práci s maticemi v rozsahu více než dostatečném pro tento předmět. V případě alternativy k doporučenému MATLÁBu je však nutné některá počítačová cvičení převzít volněji, případně přizpůsobit procedurám a funkcím alternativního systému. Počítačová cvičení pomáhají při výuce především tím. že umožňují provést některé rutinní výpočty rychleji a méně pracně. Čímž umožňují studujícímu soustředit se lépe na hlavní linii výkladu. Počítačová cvičení nemusí studující nutné probrat všechna, měl by se jimi však zabývat natolik, nakolik je to prospěšné pro pochopem probírané látky.