Matematika 2 – definice, věty teorie

(9) Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
derivace funkce, geometrický význam derivace, vztah spojitosti a vlastní derivace, jednostranné derivace; věta o derivaci aritmetických operací, o derivaci složené funkce a inverzní funkce, diferenciál a rovnice tečny; extrém funkce vzhledem k množině, lokální extrém, nutná podmínka pro lokální extrém, postačující podmínka pro lokální extrém funkce, konvexita a konkavita funkce, inflexe; derivace vyšších řádů;

DEF. Derivace funkce
Nechť funkce f je definována v jistém okolí bodu c (tj. v intervalu (c-δ;c+δ), kde δ>0). Položme ,
existuje-li limita na pravé straně rovnice, nazveme číslo f´(c) derivací funkce f v bodě c. Neexistuje-li limita na pravé straně rovnice, pak říkáme, že funkce nemá v bodě c derivaci. Je-li limita vlastní (resp. nevlastní), pak říkáme, že funkce má v bodě c vlastní (resp. nevlastní) derivaci.

Pozn. Analogicky lze (za předpokladu že je definováno pravé, resp. levé okolí bodu c) a limity na pravé str. existují) definovat derivace jednostranné. Položme
;
Čísla f +´(c), resp f -´(c) nazýváme derivací funkce v bodě c zprava, resp. zleva.

Pozn. Stejně jako u limit platí: aby existovala derivace v bodě c, musí existovat jednostranné derivace v tomto bodě a musí se navzájem rovnat.

Pozn. Geometrický význam derivace
Uvažujme graf spojité funkce v intervalu I s pevně zvoleným bodem M0=[c, f(c)]. Symbolem M = [c+h; f(c+h)] označíme “proměnný” bod grafu této funkce. Blíží-li se h k nule, pak ze spojitosti funkce f v bodě c plyne, že se bod M blíží k budu M0. Přímka procházející body M0 a M je sečna grafu funkce, jejíž směrnice závisí na velikosti h a je dána vzorcem
.
V okamžiku h=0 se ze sečny stala tečna grafu funkce. viz obrázek
úhel α představuje směrnici (úhel) tečny
f(c+h)-f(c) je přírůstek ve směru osy y (tj. Δ y)
h je přírůstek ve směru osy x (tj. Δ x)
α(h) je směrnice (úhel) sečny.